困难

问题描述

一个序列的 宽度 定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大，请返回对 109 + 7 取余 后的结果。

子序列 定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，[3,6,2,7] 就是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的一个子序列。

示例 1：

输入：nums = [2,1,3]
输出：6
解释：子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
宽度之和是 6 。

示例 2：

输入：nums = [2]
输出：0

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 105

数学

对于一个子序列，决定该子序列宽度的主要因素为序列的最大值与最小值，与序列中元素的顺序无关，因此可以对原数组进行排序。排序后，对于某个数 $nums[i]$，它有两种情况：$nums[i]$ 为最大值以及 $nums[i]$ 为最小值。

• 当 $nums[i]$ 为最小值时，大于等于 $nums[i]$ 的元素个数有 $n - i - 1$ 个，能够组成的子序列的个数即为 $2^{n-i-1}$，贡献值为 $nums[i] \times 2^{n-i-1}$
• 当 $nums[i]$ 为最大值时，小于等于 $nums[i]$ 的元素个数有 $i$ 个，能够组成的子序列的个数即为 $2^i$，贡献值为 $nums[i] \times 2^i$

计算所有 $nums[i]$ 作为最大值时的贡献值之和与作为最小值时的贡献值之和，他们的差值即为所有非空子序列的宽度之和。

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var sumSubseqWidths = function (nums) {
  const MOD = 10 ** 9 + 7
  const n = nums.length
  nums.sort((a, b) => a - b)
  const pow = new Array(n).fill(1)
  // 预处理 2^n
  for (let i = 1; i < n; i++) {
    pow[i] = (pow[i - 1] * 2) % MOD
  }
  let ans = 0
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    ans = (ans + nums[i] * (pow[i] - pow[n - i - 1])) % MOD
  }
  return ans
}

• 时间复杂度：$O(n\log{n})$
• 空间复杂度：$O(n)$