中等

问题描述

有 A 和 B 两种类型 的汤。一开始每种类型的汤有 n 毫升。有四种分配操作：

• 提供 100ml 的 汤 A 和 0ml 的 汤 B 。
• 提供 75ml 的 汤 A 和 25ml 的 汤 B 。
• 提供 50ml 的 汤 A 和 50ml 的 汤 B 。
• 提供 25ml 的 汤 A 和 75ml 的 汤 B 。

当我们把汤分配给某人之后，汤就没有了。每个回合，我们将从四种概率同为 0.25 的操作中进行分配选择。如果汤的剩余量不足以完成某次操作，我们将尽可能分配。当两种类型的汤都分配完时，停止操作。

注意 不存在先分配 100 ml 汤 B 的操作。

需要返回的值： 汤 A 先分配完的概率 + 汤 A 和汤 B 同时分配完的概率 / 2。返回值在正确答案 10-5 的范围内将被认为是正确的。

示例 1:

输入: n = 50
输出: 0.62500
解释:如果我们选择前两个操作，A 首先将变为空。
对于第三个操作，A 和 B 会同时变为空。
对于第四个操作，B 首先将变为空。
所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 \*(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。

示例 2:

输入: n = 100
输出: 0.71875

提示:

• 0 <= n <= 109

记忆化搜索

整体的概率公式为：$P(a, b) = P(a1, b1)/4 + P(a2, b2)/4 + P(a3, b3)/4 + P(a4, b4)/4$，其中 ai, bi 表示执行操作 i 之后，汤 A 和 汤 B 中剩余汤的容量。

可以使用深度优先搜索对概率进行计算，假设 $dfs(a, b)$ 表示汤 A 剩余 $a$ 毫升，汤 B 剩余 $b$ 毫升时的概率。

实际上这是一个递归的过程，可以使用记忆化搜索进行优化。但是数据范围最大到 $10^9$，正常情况下会超时。

可以观察到题目给出条件 “不存在 先分配 100 ml 汤 B 的操作”，和 “返回值在正确答案 10-5 的范围内将被认为是正确的” ，由条件一可推理出 $n$ 越大，A 汤越先倒完的概率就越接近于 $1$，由条件二可推理出到达某个边界后可以认为就是 $1$。所以当 $n$ 大于这个边界值可以直接返回 $1$，这样在 $10^9$ 这样的规模数据范围进行记忆化搜索也不会超时。

• 时间复杂度：$O(m^2)$，$m$ 不大于 $200$
• 空间复杂度：$O(m^2)$