中等

问题描述

给定数组 nums 和一个整数 k 。我们将给定的数组 nums 分成 最多 k 个相邻的非空子数组 。 分数 由每个子数组内的平均值的总和构成。

注意我们必须使用 nums 数组中的每一个数进行分组，并且分数不一定需要是整数。

返回我们所能得到的最大 分数 是多少。答案误差在 10-6 内被视为是正确的。

示例 1:

输入: nums = [9,1,2,3,9], k = 3
输出: 20.00000
解释:
nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 得到的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20.
我们也可以把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9].
这样的分组得到的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.

示例 2:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4
输出: 20.50000

提示:

• 1 <= nums.length <= 100
• 1 <= nums[i] <= 104
• 1 <= k <= nums.length

动态规划

当划分份数越多，平均值之和越大，因此想要取得最大值必然是恰好划分成 $k$ 份，证明如下：

假设一种分组的子数组个数小于 $k$，那么必然有一个子数组的元素个数 $c > 1$，设该子数组的评价值为 $m$，左侧第一个元素为 $x$，对该子数组的左侧第一个元素切分出去，得到的平均值和为 $\frac{m \times c - x}{c - 1} + x = \frac{m \times c - x}{c - 1} + \frac{c \times x - x}{c - 1} = \frac{c}{c - 1} \times m + \frac{c - 2}{c - 1} \times x$，因为 $\frac{c}{c - 1} > 1$，$\frac{c - 2}{c - 1} \times x > 0$，所以 $\frac{c}{c - 1} \times m + \frac{c - 2}{c - 1} \times x > m$。

设 $dp[i][k]$ 表示数组前 $i$ 个数，划分成 $k$ 个子数组的最大平均值总和：

• 当 $k = 1$ 时，$dp[i][1] = (nums[0] + \dots + nums[i - 1]) / i$。
• 当 $k > 1$ 时，$dp[i][k] = max(dp[i][k], dp[j][k-1] + avg[j][i])$，这里 $j$ 取值为 $[0, i - 1]$，$avg[j][i]$ 表示 $nums$ 在区间 $[j, i - 1]$ 的平均值，即 $(nums[j] + \dots + nums[i - 1]) / (i - j)$

由于需要频繁计算区间和，所以可以使用前缀和对数据进行预处理。

/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var largestSumOfAverages = function (nums, k) {
  const n = nums.length
  const sum = new Array(n + 1).fill(0)
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1]
  }
  const dp = new Array(n + 1).fill(0).map(() => new Array(k + 1).fill(0))
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    dp[i][1] = sum[i] / i
  }
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    for (let $k = 2; $k <= k; $k++) {
      for (let j = 1; j < i; j++) {
        const avg = (sum[i] - sum[j]) / (i - j)
        dp[i][$k] = Math.max(dp[i][$k], dp[j][$k - 1] + avg)
      }
    }
  }
  return dp[n][k]
}

• 时间复杂度：$O(n^2 \times k)$
• 空间复杂度：$O(n \times k)$