中等

问题描述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2：

输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

提示：

• 1 <= nums.length <= 100
• 0 <= nums[i] <= 400

动态规划

这是一道经典的动态规划问题。

从简单情况开始递推：

当只有一间房屋时，显然偷窃该间房屋可以偷窃到最高总金额；

当有两间房屋时，由于两间房屋相邻，不能同时偷窃，因此选择金额较高的房屋进行偷窃，可以偷窃到最高的金额；

当房屋数量大于两间($k > 2$)时，有两种情况:

1. 偷窃第 $k$ 间房，那么就不能偷窃第 $k - 1$ 间房屋了，偷窃到的总金额为前 $k - 2$ 间房屋偷窃到的最高金额与第 $k$ 间房屋偷窃到的金额之和。
2. 不偷窃第 $k$ 间房，那么偷窃到的总金额为前 $k - 1$ 间房屋偷窃到的最高金额。

在上述两种情况中取偷窃到总金额最高的方案，得到的总金额即为前 $k$ 间房屋能偷窃到的最高总金额。

假设 $dp[i]$ 代表前 $i$ 间房子，满足题目条件下能偷窃到的最高金额。 那么有状态转移方程：

$$dp[i] = \begin{cases} nums[0] & i = 0 \\ max(nums[0],nums[1]) & i = 1 \\ max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]) & i > 1 \\ \end{cases}$$

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var rob = function (nums) {
  const dp = new Array(nums.length).fill(0)
  const n = nums.length
  dp[0] = nums[0]
  for (let i = 1; i < n; i++) {
    if (i === 1) {
      dp[1] = Math.max(dp[0], nums[1])
    } else {
      dp[i] = Math.max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1])
    }
  }
  return dp[n - 1]
}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

可以发现，$dp[i]$ 只与 $num[i]$， $dp[i - 1]$ 和 $dp[i - 2]$ 相关，因此可以使用滚动数组对空间进行优化。

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var rob = function (nums) {
  const dp = new Array(2).fill(0)
  const n = nums.length
  dp[0] = nums[0]
  for (let i = 1; i < n; i++) {
    if (i === 1) {
      dp[1] = Math.max(dp[0], nums[1])
    } else {
      dp[i & 1] = Math.max(dp[(i - 2) & 1] + nums[i], dp[(i - 1) & 1])
    }
  }
  return dp[(n - 1) & 1]
}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$